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民事裁判で地裁で敗訴されてから依頼いただく依頼者の方にときどき言われるので困ってしまうのですが、「一審の時は出したくなかったし、前の弁護士から聞かれなかったので言わなかったのだけどこんな証拠もある。」と新しい証拠を持って来られる。

高裁は、一から裁判をやり直してくれるのではなく、原則、一審で検討された証拠を下に、一審の判断に問題がないか「検討」するところです（刑事事件は別です）。

ですから、一審で出せたのに出さなかった証拠を高裁で出して、取り上げてくれる確率は低いのです。そこで、新たな争点が見つかった（一審で問題にならなかったので出す余地がなかった）など、理屈をこねて提出することになります。
制度上の制限を以下に回避して証拠を受け取らせるか、そこも頑張りどころではあるのですが、依頼者にはそこのところがよく解って貰えないので、そこは悲しいところです。